Question

如图，四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，作DF⊥BC，垂足分别为点E、F，∠EDF=60°，若BE=14，BF=2，求平行四边形ABCD的周长和面积．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：延长DF、AB，相交于点H，根据直角三角形两锐角互余求出∠H=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BH，再求出DE，然后求出∠A=∠CBH=60°，再求出AD、AE，然后求出AB，最后根据平行四边形的周长的定义和面积公式列式计算即可得解．

解答：解：如图，延长DF、AB，相交于点H，
∵∠EDF=60°，DE⊥AB，
∴∠H=90°-60°=30°，
∵DF⊥BC，
∴BH=2BF=2×2=4，
∴DE=EH•tan∠H=（14+4）×

3

3

=6

3

，
∠CBH=90°-∠H=90°-30°=60°，
∵平行四边形ABCD对边AD∥BC，
∴∠A=∠CBH=60°，
∴AD=DE÷sin∠A=6

3

÷

3

2

=12，
AE=

1

2

AD=

1

2

×12=6，
∴AB=AE+BE=6+14=20，
∴平行四边形ABCD的周长=2（20+12）=64，
面积=20×6

3

=120

3

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半以及解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．