Question

如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，∠OPH=60°．半圆D的切线PH分别与x轴和y轴相交于点P与点H，切点为点E．
（1）求切线PH所在直线的解析式；
（2）求线段OP、EP与弧OE所围成图形的面积S．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b，连接DE，DP，利用已知条件和勾股定理可求出OP，OH的长，即点P和点H的坐标，代入直线解析式求出k和b的值即可；
（2）易证Rt△OPD≌Rt△EPD，由全等三角形的性质可求出∠ODE的度数，再根据线段OP、EP与弧OE所围成图形的面积S=2S_△OPD-S_扇形DOE计算即可．

解答：解：（1）连接DE，DP，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠DOP=90°
∵OC是圆的半径，
∴OP切圆D于点O，
∴PH与半圆D切于点E，
∴OP=EP，∠DPO=∠DPE=

1

2

∠OPH=30°，∠OHP=90°-∠OPH=30°，
∴DP=2OD=4，
OP=

DP2-OD2

=2

3

，HP=2OP=4

3

，
∴OH=

PH2-OP2

=6，
∴P（2

3

，0），H（0，6），
设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
把P，H点的坐标代入得：

2 3 k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 b=6

，
∴切线PH所在直线的解析式为y=-

3

x++6；

（2）在Rt△OPD和Rt△EPD中，

OP=EP DP=DP

，
∴Rt△OPD≌Rt△EPD，
∴∠ODP=∠EDP=90°-∠OPD=60°，
∴∠ODE=120°，
∴线段OP、EP与弧OE所围成图形的面积S=2S_△OPD-S_扇形DOE=2×

1

2

×2

3

×2-

120×π×22

360

=4

3

-

4π

3

．

点评：本题考查了和圆有关的综合题，用到的知识点有矩形的性质、切线长定理、勾股定理、用待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式、扇形的面积公式运用，题目的综合性较强，难度中等．