Question

【题目】在中，．

(1)如图①，以点为直角顶点，为腰在右侧作等腰，过点作交的延长线于点．求证：．

(2)如图②，以为底边在左侧作等腰，连接，求的度数．

(3)如图③，中，,垂足为点，以为边在左侧作等边,连接交于，,,求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得；

（2）过点C作CM⊥CO交BO于M，AC与BO交于点N，利用旋转模型证明≌，由外角的性质计算即可；

（3）在CE上截取一点H，使CH=AE，连接OH，利用等腰直角△AOB，等边△BOC证得≌，通过等角代换证明为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．

（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，

∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DAC=∠ABO，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，

在△AOB和△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（AAS）

（2）如图②，过点C作CM⊥CO交BO于M，AC与BO交于点N，

，

，

，，

，

∵AC=BC，

≌，

，

，

，

故答案为：135°．

（3）如图③，在CE上截取一点H，使CH=AE，连接OH，

∵△AOB是等腰直角三角形，△BOC是等边三角形，所以

，

，

≌，

，AE=CH=3，∠AOE=∠COH，

，∠AOB=90°，

，

，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°，

，

为等边三角形，

，

，

故答案为：8．