【题目】在中,.
(1)如图①,以点为直角顶点,为腰在右侧作等腰,过点作交的延长线于点.求证:.
(2)如图②,以为底边在左侧作等腰,连接,求的度数.
(3)如图③,中,,垂足为点,以为边在左侧作等边,连接交于,,,求的长.
【答案】(1)见解析;(2);(3)8
【解析】
(1)根据“一线三垂直”模型,可以证得;
(2)过点C作CM⊥CO交BO于M,AC与BO交于点N,利用旋转模型证明≌,由外角的性质计算即可;
(3)在CE上截取一点H,使CH=AE,连接OH,利用等腰直角△AOB,等边△BOC证得≌,通过等角代换证明为等边三角形,由线段和计算即可得到结果.
(1)∵∠BAC=∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DAC=∠ABO,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,
在△AOB和△CDA中,
∴△AOB≌△CDA(AAS)
(2)如图②,过点C作CM⊥CO交BO于M,AC与BO交于点N,
,
,
,,
,
∵AC=BC,
≌,
,
,
,
故答案为:135°.
(3)如图③,在CE上截取一点H,使CH=AE,连接OH,
∵△AOB是等腰直角三角形,△BOC是等边三角形,所以
,
,
≌,
,AE=CH=3,∠AOE=∠COH,
,∠AOB=90°,
,
,∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°,
,
为等边三角形,
,
,
故答案为:8.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,AI平分∠BAC,CI平分∠ACB,将∠BAC平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.5B.8C.10D.7
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【题目】某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动,要求各学校开展形式多样的阳光体育活动某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题,随机调查了本校某班的学生,并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图:
在这次调查中,喜欢篮球项目的同学有多少人?
在扇形统计图中,“乒乓球”的百分比为多少?
如果学校有800名学生,估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目?
请将条形统计图补充完整;
在被调查的学生中,喜欢篮球的有2名女同学,其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队,请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于P.弦CE平分∠ACB,交直径AB于点F,连结BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)探究线段PC,PF之间的大小关系,并加以证明;
(3)若tan∠PCB=,BE=,求PF的长.
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【题目】点O在△ABC的内部,点D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点.
(1)如图1,求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)如图2,射线AO交BC边于点H,连接DH,GH,若AB=AC,DE⊥EF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中所有的等腰三角形(不包含以∠BAC为内角的三角形).
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【题目】用一条直线分割一个三角形,如果能分割出等腰三角形,那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.
(1)如图(1),若 O 为 AB 的中点,则直线 OC_____△ABC 的等腰分割线(填“是”或“不是”)
(2)如图(2)已知△ABC 的一条等腰分割线 BP 交边 AC 于点 P,且 PB=PA,请求出 CP 的长度.
(3)如图(3),在△ABC 中,点 Q 是边 AB 上的一点,如果直线 CQ 是△ABC 的等腰分割线,求线段BQ 的长度等于 ______.(直接写出答案).
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【题目】矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为_____.
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【题目】如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC的纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,求∠1+∠2的度数
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【题目】如图1,AB=12,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=8。点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由B点向点D运动。它们的运动时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=2时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图2,将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变。设点Q的运动速度为每秒x个单位,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由。
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