Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；

（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PC=PF．证明见解析；（3）．

【解析】试题分析：(1)、连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=∠D=90°即 OC∥AD，然后根据OA=OC得出∠CAD=∠OCA=∠OAC，从而得出角平分线；(2)、根据∠PCB+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°，从而得出∠CAB=∠CAD=∠PCB，结合∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE得出∠PFC=∠PCF，从而得出答案；(3)、连接AE，根据题意得出△PCB和△PAC相似，然后设PB=3x，则PC=4x，根据Rt△POC的勾股定理得出x的值，从而得出答案.

试题解析：（1）连接OC． ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD， ∴∠OCP=∠D=90°， ∴ OC∥AD．

∴ ∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．

证明：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90° 又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE． ∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）连接AE． ∵∠ACE=∠BCE，∴=， ∴AE=BE．

又∵AB是直径， ∴∠AEB=90°．AB=， ∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC． ∴．

∵tan∠PCB=tan∠CAB=, ∴=．

设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0，． ∵x＞0，∴， ∴PF=PC=．