Question

【题目】（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？

（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？

（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？

（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En的度数？

Answer 1

【答案】（1）∠B+∠D+∠E1=360°；（2）∠B+∠D+∠E1+∠E2=540°；（3）∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3=720°；（4）∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En=(n+1)180°．

【解析】

（1）如图1，过E1作E1F∥AB，则E1F∥CD，根据平行线的性质得到∠B+∠1=180°①，∠D+∠2=180°②，即可得到结论；
（2）分别过E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）分别过E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）180°，于是得到∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En=（n+1）180°．

解：（1）如图①，过E1作E1F∥AB，则E1F∥CD，

∴∠B+∠1=180°①，
∠D+∠2=180°②，
①+②得∠B+∠1+∠D+∠2=360°，
即∠B+∠D+∠E1=360°=2×180°；
（2）如图②，分别过E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，

∴∠1+∠B=∠2+∠3=∠4+∠D=180°，
∴∠B+∠D+∠E1+∠E2=∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D=540°=3×180°；
（3）如图③，分别过E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，

∴∠B+∠BE1E2=180°，∠E2E1F1+∠E1E2F2=180°，∠E3E2F2+∠E2E3F3=180°，∠DE3F3+∠D=180°，
∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3=720°=4×180°；
（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）180°，
∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En=（n+1）180°．