Question

12．已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）图象的对称轴是直线x=2，且经过点B（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若y＞0，请直接写出x的取值范围；
（3）若抛物线y=ax²+bx+3-t（a≠0，t为实数）在$0＜x＜3\frac{1}{2}$的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称性可求得点B对称点的坐标，从而然后依据待定系数法可求得二次函数的解析式；
（2）y＞0，即抛物线位于x轴上方，从而可求得x的取值范围；
（3）由（1）可知y=ax²+bx+3-t的解析式为y=x²-4x+3-t，当△=0时，可求得t=-1，将x=0，y=0代入可求得t=3，从而可得到-1≤t＜3．

解答 解：（1）∵对称轴为x=2，点B（3，0），
∴抛物线经过点（1，0）．
将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3=0且a+b+3=0
解得a=1，b=-2
∴y=x²-4x+3．
（2）∵y＞0，
∴抛物线位于x轴的上方．
∴x的取值范围是x＜1或x＞3．
（3）由（1）ax²+bx+c=x²-4x+3
∴y=x²-4x+3-t
①当△=0时，该函数图象与x轴只有一个交点
此时，△=（-4）²-4（3-t）=0
即4+4t=0
∴t=-1
②当该函数图象过（0，0）时，
将（0，0）代入y=x²-4x+3-t
0=3-t
∴t=3
∴t的取值范围是：-1≤t＜3．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用数形结合思想求得x和t的取值范围是解题的关键．