Question

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=$\sqrt{5}$，BC=2，求sin∠ACD和sin∠BCD．

Answer 1

分析 根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=$\sqrt{5}$，BC=2，可得AB的长，然后根据∠ACB=90°，CD⊥AB，可以得到∠ACD、∠BCD与∠A、∠B的关系，从而可以解答本题．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=$\sqrt{5}$，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{9}=3$，∠CDA=CDB∠=90°．
∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=∠B+∠A=90°．
∴∠ACD=∠B，∠BCD=∠A．
∵sinA=$\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sin∠ACD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sin∠BCD=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是建立各个角之间的关系，根据相等角的正弦值相等，利用转化的数学思想解答本题．