Question

11．已知抛物线l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）与y轴的交点M的坐标是（0，c），我们称以点M的顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线与抛物线l的伴随抛物线，直线PM为抛物线l的伴随直线的解析式
（1）请直接写出抛物线y=x²-4x+2的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线的解析式：
伴随直线的解析式：
（2）若一条抛物线的伴随抛物线直线分别是y=-x²+3和y=-x+3，求这条抛物线的解析式
（3）求抛物线l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（4）若抛物线l：y=ax²-4ax+2a（a≠0）与x轴交于A、B两点，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，则线段AB与CD相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求出抛物线y=x²-4x+2的顶点及与y轴的交点坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（2）可先求出伴随抛物线和伴随直线的交点坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（3）可先求出抛物线y=ax²+bx+c的顶点及与y轴的交点坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（4）利用（3）中的结论可求得抛物线y=ax²-4ax+2a的伴随抛物线的解析式，然后求出这两个抛物线与x轴的交点坐标，进而求出AB与CD的值，就可解决问题．

解答 解：（1）抛物线y=x²-4x+2的伴随抛物线的解析式y=-x²+2，伴随直线的解析式y=-2x+2．
解题过程如下：
抛物线y=x²-4x+2=（x-2）²-2的顶点P为（2，-2），与y轴的交点M为（0，2），
则伴随抛物线的顶点为（0，2），故伴随抛物线的解析式可设为y=ax²+2，
∵点P（2，-2）在抛物线y=ax²+2上，
∴4a+2=-2，
∴a=-1，
∴伴随抛物线的解析式为y=-x²+2；
设伴随直线的解析式为y=mx+n，
∵直线y=mx+n经过P（2，-2）、M（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴伴随直线的解析式y=-2x+2；

（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴M（0，3），P（1，2）．
故可设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+2，
∵M（0，3）在抛物线y=a（x-1）²+2上，
∴3=a（0-1）²+2，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²+2=x²-2x+3；

（3）由题可知伴随抛物线的顶点是（0，c），
故伴随抛物线的解析式可设为y=mx²+c，
∵伴随抛物线过点P（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
∴m（-$\frac{b}{2a}$）²+c=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
解得m=-a，
∴伴随抛物线的解析式为y=-ax²+c；
由题可知伴随直线过（0，c），
故伴随直线的解析式可设为y=kx+c，
∵伴随直线过点P（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=k•（-$\frac{b}{2a}$）+c，
解得：k=$\frac{b}{2}$，
∴伴随直线的解析式为y=$\frac{b}{2}$x+c；

（4）AB=CD．
理由：由（3）中的结论可得：
抛物线l：y=ax²-4ax+2a（a≠0）的伴随抛物线的解析式为y=-ax²+2a．
当y=0时，由ax²-4ax+2a=0即x²-4x+2=0得x=2±$\sqrt{2}$，
∴AB=（2+$\sqrt{2}$）-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$；
当y=0时，由-ax²+2a=0即x²-2=0得x=±$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{2}$-（-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
∴AB=CD．

点评 本题是一道阅读理解题，既考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、解一元二次方程等知识，又考查了阅读理解能力，理解新定义是解决本题的关键．