Question

如图，△ABC中，∠BAC=54°，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，若AB+AC=BD，求∠ABC的度数．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：

分析：在BA的延长线上截取AE=AC，根据SAS可证△CAD≌△EAD，可得∠ACD=∠E，再根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，可得方程组

∠E+ 1 2 ∠ABC=90° ∠E=∠ABC+54°

，解方程即可求解．

解答：解：在BA的延长线上截取AE=AC，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD与△EAD中，

AE=AC ∠CAD=∠EAD AD=AD

，
∵△CAD≌△EAD（SAS），
∴∠ACD=∠E，
∵AB+AC=BD，
∴BE=BD，
∴∠E+

1

2

∠ABC=90°①，
又∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，即∠E=∠ABC+54°②，
联立①②可得

∠E+ 1 2 ∠ABC=90° ∠E=∠ABC+54°

，
解得∠ABC=24°．
故∠ABC的度数是24°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，方程思想的运用，综合性较强，难度较大．