Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）填空：

①用含m的式子表示点C，D的坐标：

C（　 　，　  　），D（　 　，　 　）；

②当m=　1　时，△ACD的周长最小；

（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

　

 

Answer 1

       解：（1）依题意，得，解得

∴y=x²﹣x

（2）C（m，m），D（2m，0），m=1

（3）依题意，得B（m，0）

在RT△OBC中，OC²=OB²+BC²=m²+=m²，

∴OC=m  又∵O，D关于直线PC对称，

∴CD=OC=m

在RT△AOE中，OA===

∴AC=OA﹣OC=﹣m

在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²=1²+（2﹣2m）²=4m²﹣8m+5

分三种情况讨论：

①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）

②若AC=AD，则有AC²=AD²，即5﹣5m+m²=4m²﹣8m+5

解得m₁=0，m₂=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

③若DA=DC，则有DA²=DC²，即4m²﹣8m+5=m²

解得m₁=，m₂=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P₁（1，），P₂（，），P₃（，）．