Question

6．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上两个动点，当M点在BC上运动时，始终保持AM和MN垂直．
（1）当BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积等于9？

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，则∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，根据相似三角形的判定得到Rt△ABM∽Rt△MCN，由正方形的边长为4，BM=x，由BC-BM表示出MC，再由第一问得到的两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列出关系式，将AB，BM及MC代入，表示出NC，由NC与AB平行不相等，且角B为直角，可得出ABCN为直角梯形，根据梯形的面积公式表示出梯形的面积，可得出y与x的函数关系式；
（2）由于△ABM∽△MCN，那么AB：BM=CM：CN，可求CN，结合四边形ABCN的面积等于9，可得关于x的方程，解即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴AB：MC=BM：NC，
而AB=4，BM=x，MC=4-x，
∴4：（4-x）=x：NC，
∴NC=$\frac{4x-{x}^{2}}{4}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（NC+AB）•BC
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4x-{x}^{2}}{4}$+4）×4
=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8；

（2）∵△ABM∽△MCN，
∴AB：BM=CM：CN，
∴CN=$\frac{x（4-x）}{4}$，
∴S_{四边形ABCN}=$\frac{1}{2}$×（4+$\frac{x（4-x）}{4}$）×4=9，
解得x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴BM=2+$\sqrt{2}$或BM=2-$\sqrt{2}$时，四边形ABCN的面积等于9．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．