Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．

（1）求线段CE的长；

（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①y＝x2﹣x+10，y有最小值为2；②存在，8﹣10或．

【解析】

（1）由翻折可知：AD＝AF＝10，DE＝EF，求出BF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；

（2）①首先求出AG，DG，∠ADM＝∠NMG，证明△ADM∽△GMN，可得，整理后根据二次函数的最值求解即可．

②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，分别通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解即可．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，

由翻折可知：AD＝AF＝10，DE＝EF，

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，

设CE＝x，则DE＝EF＝8﹣x，

在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝3，即CE＝3.

（2）①如图2中，

,

∵AD∥CG，

∴，

∴，

∴CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝16，

在Rt△ABG中，AG＝，

在Rt△DCG中，DG＝，

∵AD＝DG＝10，

∴∠DAG＝∠AGD，

∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，

∴∠ADM＝∠NMG，

∴△ADM∽△GMN，

∴，

∴，

∴y＝x2﹣x+10，

∴当x＝4时，y有最小值，将x＝4代入可得，最小值＝2；

②存在，

由①可得∠DMN＝∠DGM，

∴∠DNM＝∠DMG，

∴∠DNM≠∠DMN，

所以有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，

∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，

∴△DMN∽△DGM，

∴，

∵MN＝DM，

∴DG＝GM＝10，

∴x＝AM＝8﹣10．

如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．

∵MN＝DN，

∴∠MDN＝∠DMN，

∵∠DMN＝∠DGM，

∴∠MDG＝∠MGD，

∴MD＝MG，

∵MH⊥DG，

∴DH＝GH＝5，

∵∠DAG＝∠DGA，∠DAG＝∠AGB，

∴∠DGA＝∠AGB，

又∵∠MHG＝∠ABG＝90°，

∴△GHM∽△GBA，

∴，

∴，

∴MG＝，

∴x＝AM＝8﹣＝．

综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．