Question

14．观察下列等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$，a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$，a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$，a4=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$，…，按以上规律写出了a₅、a₆、a₇、…、a₂₀，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{20×{2}^{20}}$
• B． $\frac{1}{19×{2}^{19}}$-$\frac{1}{20×{2}^{20}}$
• C． $\frac{1}{20}$-$\frac{1}{21×{2}^{21}}$
• D． $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{21×{2}^{21}}$

Answer 1

分析 根据等式有：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，将各数如此变形，相反数相互抵消即可求解．

解答 解：a₁+a₂+a₃+…+a₂₀
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$+$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$+$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{20×{2}^{20}}$-$\frac{1}{21×{2}^{21}}$
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{21×{2}^{21}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{21×{2}^{21}}$

故：选D

点评 本题考查了数字的变化问题，解题的关键是将每一个数下列变形：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$