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【题目】在学习《圆》这一单元时,我们学习了圆周角定理的推论:圆内接四边形的对角互补;事实上,它的逆命题:对角互补的四边形的四个顶点共圆,也是一个真命题.在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形,那么,我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”,然后借助圆的相关知识来解决问题,例如:

已知:是等边三角形,点内一点,连接,将线段逆时针旋转得到线段,连接,并延长于点.当点在如图所示的位置时:

1)观察填空:

①与全等的三角形是________

的度数为       

2)利用题干中的结论,证明:四点共圆;

3)直接写出线段之间的数量关系.____________________

【答案】1)①:②;(2)见解析;(3

【解析】

1根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD≌△BCE

根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化,可得∠AFB的大小;

2)根据△ACD≌△BCE,推导得出四边形CDFE,从而证共圆;

3)先推导出△BDF是等边三角形,可证△ABD≌△CBP,得出AD=FC,从而得出数量关系.

1①∵△ABC是等边三角形

AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

∵将线段逆时针旋转得到线段

CE=CD,∠DCE=60°

∴△DCE是等边三角形

∴∠DCE=60°

∵∠ACD+DCB=60°,∠BCE+∠DCB=60°

∴∠ACD=BCE

∴△ACD≌△BCE(SAS)

②∵ACD≌△BCE

∴∠EBC=∠DAC

∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°

∴∠FBC+∠BAD=60°

∴∠AFB=180°-∠ABC∠FBC∠BAF=180°60°60°=60°

2

四点共圆;

(证明不唯一)

3)结论:,如下图,连接BD

∵△ACD≌△BCE

∴∠CBE=∠CADAD=BE

∵∠CAD+∠BAD=60°,∠BAD+∠FBC=60°

∴∠BAD+∠ABD=∠BDF=60°

∵∠AFB=60°

∴△BDF是等边三角形

DF=BF,∴FD+FE=BE

∴△ABD≌△CBF(SAS)

∴AD=FC

FD+FE=FC

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2

3

4

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0

5

3

2

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