【题目】在学习《圆》这一单元时,我们学习了圆周角定理的推论:圆内接四边形的对角互补;事实上,它的逆命题:对角互补的四边形的四个顶点共圆,也是一个真命题.在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形,那么,我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”,然后借助圆的相关知识来解决问题,例如:
已知:是等边三角形,点是内一点,连接,将线段绕逆时针旋转得到线段,连接,,,并延长交于点.当点在如图所示的位置时:
(1)观察填空:
①与全等的三角形是________;
②的度数为
(2)利用题干中的结论,证明:,,,四点共圆;
(3)直接写出线段,,之间的数量关系.____________________.
【答案】(1)①:②;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)①根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD≌△BCE;
②根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化,可得∠AFB的大小;
(2)根据△ACD≌△BCE得,推导得出四边形CDFE中,从而证共圆;
(3)先推导出△BDF是等边三角形,可证△ABD≌△CBP,得出AD=FC,从而得出数量关系.
(1)①∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∵将线段绕逆时针旋转得到线段
∴CE=CD,∠DCE=60°
∴△DCE是等边三角形
∴∠DCE=60°
∵∠ACD+∠DCB=60°,∠BCE+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
②∵△ACD≌△BCE
∴∠EBC=∠DAC
∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°
∴∠FBC+∠BAD=60°
∴∠AFB=180°-∠ABC-∠FBC-∠BAF=180°-60°-60°=60°
(2)∵.
∴,
∵,
∴.
∴,,,四点共圆;
(证明不唯一)
(3)结论:,如下图,连接BD
∵△ACD≌△BCE
∴∠CBE=∠CAD,AD=BE
∵∠CAD+∠BAD=60°,∠BAD+∠FBC=60°
∴∠BAD+∠ABD=∠BDF=60°
∵∠AFB=60°
∴△BDF是等边三角形
∴DF=BF,∴FD+FE=BE
∴△ABD≌△CBF(SAS)
∴AD=FC
∴FD+FE=FC
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(是常数,且)与轴交于、两点(点在点的左边),与轴交于点.连结,将线段绕点顺时针旋转,得到线段,连结.当最短时,的值为_________ .
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【题目】已知,如图等腰直角沿MN所在的直线以的速度向右作匀速直线运动,若,则和正方形重叠部分的面积与匀速运动所有的时间之间函数的大致图像是( )
A.B.C.D.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质,小李根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小李探究的过程,请补充完整:
(1)函数的自变量的取值范围是______;
(2)下表是与的几组对应值:
… | 0 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | ||||
… | 0 | 5 | 3 | 2 | … |
则的值为_______;
(3)如图所示,在平面直角坐标系中,根据描出的点,请补全此函数的图象;
(4)观察图象,写出该函数的一条性质_______;
(5)若函数的图象在函数的图象上方,直接写出的取值范围_______.
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【题目】如图,在矩形纸片中,,,点是的中点,点是边上的一个动点,将沿所在直线翻折,得到,连接,,则当是以为腰的等腰三角形时,的长是___________.
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【题目】每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病,呼吸道疾病等,给人们造成困扰.为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如图所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据以上统计图,解答下列问题:
(1)本次接受调查的市民共有_________人;
(2)扇形统计图中,扇形的圆心角度数是__________;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.
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【题目】如图,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出当x满足什么范围时,直线AB在双曲线的下方;
(3)反比例函数的图象上是否存在点C,使得△OBC的面积等于△OAB的面积?如果不存在,说明理由;如果存在,求出满足条件的所有点C的坐标.
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【题目】如图1,将三角板放在正方形上,使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合,三角板的一边交于点,另一边交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)如图2,将三角板绕点旋转,当时,连接交于点求证:;
(3)如图3,将“正方形”改为“矩形”,且将三角板的直角顶点放于对角线(不与端点重合)上,使三角板的一边经过点,另一边交于点,若,求的值.
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【题目】为积极创建全国文明城市,某市对某路口的行人交通违章情况进行了天的调查,将所得数据绘制成如下统计图(图2不完整):
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)第天,这一路口的行人交通违章次数是多少次?这天中,行人交通违章次的有多少天?
(2)请把图2中的频数直方图补充完整;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
(3)通过宣传教育后,行人的交通违章次数明显减少.经对这一路口的再次调查发现,平均每天的行人交通违章次数比第一次调查时减少了次,求通过宣传教育后,这一路口平均每天还出现多少次行人的交通违章?
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