【题目】如图,在矩形纸片中,,,点是的中点,点是边上的一个动点,将沿所在直线翻折,得到,连接,,则当是以为腰的等腰三角形时,的长是___________.
【答案】或
【解析】
题干仅告知了是以为腰的等腰三角形,存在两种情况,一种是,连接ED,利用勾股定理求ED的长,可判断点E、、D三点共线,最后在Rt△FD中可求得;另一种情况是,证四边形AEF是正方形,可求得.
情况一:当时,如下图,连接ED
∵点E是AB的中点,AB=4,,四边形ABCD是矩形
∴AD=,∠A=90°
∴在Rt△ADE中,ED=6
∵将沿所在直线翻折,得到
∴=AE=2
∵=AB=4
∴ED=+
∴点E、、D三点共线
∵∠A=90°
∴∠FE=∠FD=90°
设AF=x,则F=x,FD=-x
∴在Rt△FD中,,解得:x=
∴FD=3
情况二:当时,如下图
∵
∴点在线段CD的垂直平分线上
∴点在线段AB的垂直平分线上
∵点E是AB的中点
∴E是AB的垂直平分线
∴∠AE=90°
∵将沿所在直线翻折,得到,四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠EF=90°,AF=F
∴四边形AEF是正方形
∴AF=AE=2
∴FD=
故答案为:或
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【题目】根据完全平方公式可以作如下推导(a、b都为非负数)
∵ a-2+b=(-)2≥0 ∴ a-2+b≥0
∴ a+b≥2 ∴ ≥
其实,这个不等关系可以推广,≥
… …
(以上an都是非负数)
我们把这种关系称为:算术—几何均值不等式
例如:x为非负数时,,则有最小值.
再如:x为非负数时,x+x+.
我们来研究函数:
(1)这个函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)完成表格并在坐标系中画出这个函数的大致图象;
x | … | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | 3 | 5 | … |
(3)根据算术—几何均值不等式,该函数在第一象限有最 值,是 ;
(4)某同学在研究这个函数时提出这样一个结论:当x>a时,y随x增大而增大,则a的取值范围是 .
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E,AC的反向延长线交⊙O于点F.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠C=30°,⊙O的半径为6,求弓形AF的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点为坐标原点,且与反比例函数的图象相交于,两点,且点的纵坐标为,已知点,则的值为( ).
A.B.C.9D.
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【题目】在学习《圆》这一单元时,我们学习了圆周角定理的推论:圆内接四边形的对角互补;事实上,它的逆命题:对角互补的四边形的四个顶点共圆,也是一个真命题.在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形,那么,我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”,然后借助圆的相关知识来解决问题,例如:
已知:是等边三角形,点是内一点,连接,将线段绕逆时针旋转得到线段,连接,,,并延长交于点.当点在如图所示的位置时:
(1)观察填空:
①与全等的三角形是________;
②的度数为
(2)利用题干中的结论,证明:,,,四点共圆;
(3)直接写出线段,,之间的数量关系.____________________.
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【题目】(问题解决)
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
(类比探究)
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
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【题目】如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
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【题目】如图,已知BC⊥AC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与⊙O的交点,点D是MB与⊙O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且ADAO=AMAP.
(1)连接OP,证明:△ADM∽△APO;
(2)证明:PD是⊙O的切线;
(3)若AD=12,AM=MC,求PB和DM的值.
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