Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．连结，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结．当最短时，的值为_________ ．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点D作DE⊥x轴于点E，先由函数关系式求出点A、B的坐标进而求得OA、OB的长，再由旋转可得AC＝AD，∠CAD＝90°，由此可证得△ACO≌△DAE，进而可表示出DE和BE的长，最后利用勾股定理表示出BD2，进而即可求得当最短时的的值．

解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，

令y＝0，则

解得：，

∴OA＝1，OB＝3，

∴AB＝OB－OA＝2，

令x＝0，则y＝3a，

∴OC＝3a，

∵旋转，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠CAO＋∠DAE＝90°，

∵∠COA＝90°，

∴∠CAO＋∠ACO＝90°，

∴∠ACO＝∠DAE，

在△ACO与△DAE中，

∴△ACO≌△DAE（AAS），

∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a，

∴BE＝AE－AB＝3a－2，

∴BD2＝BE2＋DE2＝(3a－2)2＋1≥1，

当3a－2＝0即a＝时，BD取得最小值．

故答案为：．