【题目】如图1,将三角板放在正方形上,使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合,三角板的一边交于点,另一边交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)如图2,将三角板绕点旋转,当时,连接交于点求证:;
(3)如图3,将“正方形”改为“矩形”,且将三角板的直角顶点放于对角线(不与端点重合)上,使三角板的一边经过点,另一边交于点,若,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)根据旋转全等模型利用正方形的性质,由可证明,从而可得结论;
(2)根据正方形性质可知,结合已知可得;再由(1)可知是等腰直角三角形可得 ,从而证明 ,由相似三角形性质即可得出结论;
(3)首先过点作,垂足为,交AD于M点,由有两角对应相等的三角形相似,证得,根据相似三角形的对应边成比例,再由平行可得,由此即可求得答案.
(1)证明:∵在正方形ABCD中,
∴,
又∵,
,
在和中,
,
∴(ASA),
;
(2)证明 :∵四边形ABCD是正方形,
∴,
又∵,
∴,
由(1)可知,
∴,
∴,
由(1)可知是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
由(1)可知,
∴.
(3)解:如图,过点作,垂足为,交AD于M点,
∵四边形ABCD为矩形,
∴,,
∴四边形ABNM是矩形,
∴ ,,
∴
又∵ ,
∴,
∴,
∴,
,
又∵,
∴,
又∵,
∴,
,
∵
.
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【题目】如图1,已知□ABCD,AB//x轴,AB=6,点A的坐标为(1,-4),点D的坐标为(-3,4),点B在第四象限,点P是□ABCD边上的一个动点.
(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.
(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标.
(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).
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【题目】在学习《圆》这一单元时,我们学习了圆周角定理的推论:圆内接四边形的对角互补;事实上,它的逆命题:对角互补的四边形的四个顶点共圆,也是一个真命题.在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形,那么,我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”,然后借助圆的相关知识来解决问题,例如:
已知:是等边三角形,点是内一点,连接,将线段绕逆时针旋转得到线段,连接,,,并延长交于点.当点在如图所示的位置时:
(1)观察填空:
①与全等的三角形是________;
②的度数为
(2)利用题干中的结论,证明:,,,四点共圆;
(3)直接写出线段,,之间的数量关系.____________________.
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【题目】如图,在ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=4,则AE的长为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中,有一道“群羊逐草”的问题,大意是:牧童甲在草原上放羊,乙牵着一只羊来,并问甲:“你的羊群有100只吗?”甲答:“如果在这群羊里加上同样的一群,再加上半群,四分之一群,再加上你的一只,就是100只.”问牧童甲赶着多少只羊?若设这群羊有x只,则下列方程中,正确的是( )
A. (1++)x=100+1 B. x+x+x+x=100﹣1 C. (1++)x=100﹣1 D. x+x+x+x=100+1
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【题目】小西红柿又叫圣女果,既可以生吃,也可以作为美食原料,营养价值极高,因此深受人们的欢迎,为了解甲、乙两个规模相当的种植基地的小西红柿产量,从这两个种植基地中各随机选取50株小西红柿秧苗进行调查,将得到的数据分类整理成如下统计表:
甲基地每株秧苗收获小西红柿个数统计表:
小西红柿个数x/个 | 25≤x<35 | 35≤x<45 | 45≤x<55 | 55≤x<65 | 65≤x<75 | 75≤x<85 |
秧苗株数/株 | 4 | 8 | 12 | 12 | 10 | 4 |
乙基地每株秧苗收获小西红柿个数统计表:
小西红柿个数 x/个 | 25≤x<35 | 35≤x<45 | 45≤x<55 | 55≤x<65 | 65≤x<75 | 75≤x<85 |
秧苗株数/株 | 9 | 6 | 12 | 10 | 11 | 2 |
(说明:x<45为产量不合格,x≥45为产量合格,其中45≤x<65为产量良好,65≤x<85为产量优秀)
(
(2)某水果商准备在甲、乙两个小西红柿种植基地中选择一个进行合作,若一株秧苗产量优秀可获利13元,产量良好可获利8元,产量不合格亏损5元.以这两个基地的50株秧苗获得的平均利润为决策依据,请你利用所学的统计知识帮该水果商选择与哪个基地进行合作能获得更大利润?并说明理由.
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【题目】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
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【题目】某中学兴趣小组为了解全校学生星期六和星期日在家使用手机的情况,兴趣小组随机抽取若干名学生,调查他们周末两天的使用手机时间,并根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计表和统计图.根据图表信息,解答下列问题:
阅读时间 (小时) | 频数 (人) | 频率 |
1≤x<2 | 9 | 0.15 |
2≤x<3 | a | m |
3≤x<4 | 18 | 0.3 |
4≤x<5 | 12 | n |
5≤x<6 | 6 | 0.1 |
合计 | b | 1 |
(1)填空:a= ,b= ,m= ,n= :
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)这个中学的学生共有1200人,根据上面信息来估算全校学生中周末两天使用手机时间不低于4小时的学生大约有多少人?
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