Question

8．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=mx的图象交于点A，AB垂直于x轴，垂足为B，并且AB=OB=2．
（1）求k和m的值；
（2）将△ABO绕O点逆时针旋转90°，得到△A′B′O，请画出旋转后的图形，并写出点A′的坐标；
（3）过点A′作直线OA的平行线，交y轴与点C，连接AC，判定四边形AOA′C的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得出点A的坐标，把点A的坐标分别代入反比例函数和一次函数解析式，即可求出k和m的值；
（2）容易画出△ABO绕O点逆时针旋转90°后的图形；由旋转的性质得出∠OB′A′=∠OBA=90°，A′B′=AB=2，OB′=OB=2，∠A′OB′=∠AOB=45°，OA′=OA，即可得出点A′的坐标；
（3）由题意得出△AOB是等腰直角三角形，得出∠AOB=45°，∠A′OB′=∠AOB=45°，证出A′C=AO，得出四边形AOA'C是平行四边形，再由∠A′OA′=90°，OA=OA′，即可得出四边形AOA′C是正方形．

解答 解：（1）∵AB⊥x轴，垂足为B，并且AB=OB=2，
∴点A的坐标为（2，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=mx的图象交于点A，
∴2=$\frac{k}{2}$，2=2m       
∴k=4，m=1．
（2）将△ABO绕O点逆时针旋转90°，得到△A′B′O，所画图形如图1所示：
则∠OB′A′=∠OBA=90°，A′B′=AB=2，OB′=OB=2，
∠A′OB′=∠AOB=45°，OA′=OA，
∴点A′的坐标为（-2，2）；
（3）四边形AOA'C是正方形．理由如下：
如图2所示：
∵AB⊥x轴，垂足为B，并且AB=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠AOB=45°，
∴∠A′OB′=∠AOB=45°，
∴∠A′OA′=∠COB=90°，
∵A′C∥OA，
∴∠A′CO=∠AOC=45°，
∴∠A′CO=∠A′OC，
∴A′C=A′O，
∴A′C=AO，
∴四边形AOA'C是平行四边形，
∵∠A′OA′=90°，
∴四边形AOA′C是矩形，
又∵OA=OA′，
∴四边形AOA′C是正方形．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数和一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定以及矩形、菱形、正方形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度．