Question

3．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，利用角平分线定义得到∠1=∠2，加上∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OE∥AF，则可利用AF⊥FG得到OE⊥FG，然后根据切线的判定定理得到直线FG是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，由矩形的性质得∠ABC=90°，AB=CD=8，然后在Rt△OBE中利用勾股定理得到（8-r）²+4²=r²，解得r=5，于是得到⊙O的直径为10．

解答 （1）证明：连结OE，如图，
∵AE平分∠FAH，
∴∠1=∠2，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AF，
∵AF⊥FG，
∴OE⊥FG，
∴直线FG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=8，
在Rt△OBE中，OB=8-r，BE=4，OE=r，
∴（8-r）²+4²=r²，解得r=5，
∴⊙O的直径为10．

点评 本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．