Question

【题目】如图1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是对角线，分别延长AD至E，延长CD至F，使得DE=AD，DF=CD．

（1）求证：四边形ACEF为菱形．

（2）如图2，过E作EG⊥AC的延长线于G，若AG=8，cos∠ECG=，则AD=　 　（直接填空）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2 ．

【解析】试题分析：（1）先证明四边形ACEF是平行四边形，再由矩形的性质证出AE⊥CF，即可得出四边形ACEF是菱形；

（2）由菱形的性质得出AC=CE，AD=ED，与三角函数得出CG=CE=AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG= =4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE= =4，即可得出AD的长．

试题解析：（1）∵DE=AD，DF=CD．∴四边形ACEF是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，

∴AE⊥CF，∴四边形ACEF是菱形；

（2）∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，AD=ED，

∵EG⊥AC，cos∠ECG==，∴CG=CE=AC，

∵AG=AC+CG=8，∴CG=3，CE=AC=5，∴EG==4，

在Rt△AEG中，AE== =4，∴AD=AE=2；

故答案为：2 ．