Question

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=0.35．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先求出BM的长度，进而求出AC、BB′的长度；证明△A′DC∽△ADB′，得$\frac{B′D}{CD}$=$\frac{AB′}{A′C}$=0.35，即可解决问题．

解答 解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠C=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$；设BC=3λ，则AB=5λ，
由勾股定理得AC=4λ，
由射影定理得：BC²=BM•AB，
∴BM=$\frac{9}{5}$λ．由旋转变换的性质得：
CB=CB′，A′C=AC=4λ，∠A′=∠A；而CM⊥BB′，
∴B′M=BM，AB′=5λ-$\frac{18}{5}$λ=$\frac{7}{5}$λ，
∵∠A′=∠A，∠A′DC=∠ADB′，
∴△A′DC∽△ADB′，
∴$\frac{B′D}{CD}$=$\frac{AB′}{A′C}$=0.35，
故答案为：0.35；

点评 此题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．