Question

【题目】如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60度得到BN，连接

（1）求证：

（2）①当M点在何处时， 的值最小；

②当M点在何处时，的值最小，并说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①当M点在BD的中点处时，A，M，C三点共线，最小；②当M位于BD与CE交点处时，的值最小，见解析

【解析】

（1）根据旋转的性质得BM=BN，∠MBN=60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；（2）①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，根据正方形的性质得点O为BD的中点，根据两点之间线段最短得到AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），于是得到当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小；②由△BMN为等边三角形得BM=MN，由△AMB≌△ENB得EN=AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小．

（1）证明：是等边三角形，

，

，

，

，

在中，

，

；

（2）①如图，连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点O为BD的中点，

∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），

∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小；

②如图，连接CE，当M位于BD与CE交点处时，的值最小；

理由如下：连接由MN（1）知，，

，

，

是等边三角形，

，

，

根据两点之间线段最短知：若E，N，M，C在同一直线上时，取得最小值，最小值为，

在中

，

，

，

，

若连接EC，则，

，

可以同时在直线EC上．

所以当M点位于BD与CE的交点处时，的值最小，即等于EC的长．