【题目】如图,已知抛物线经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线经过A(-3,0),B(1,0),
∴可设抛物线交点式为。
又∵抛物线经过C(0,3),∴。
∴抛物线的解析式为:,即。
(2)∵△PBC的周长为:PB+PC+BC,且BC是定值。
∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小。
∵点A、点B关于对称轴I对称,
∴连接AC交l于点P,即点P为所求的点。
∵AP=BP,∴△PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC。
∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),∴AC=3,BC=。
∴△PBC的周长最小是:。
(3)①∵抛物线顶点D的坐标为(﹣1,4),A(﹣3,0),
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m,∴E(m,2m+6),F(m,)
∴。
∴。
∴S与m的函数关系式为。
②,
∴当m=﹣2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2)。
【解析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可。
(2)根据BC是定值,得到当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可。
(3)设点E的横坐标为m,表示出E(m,2m+6),F(m,),最后表示出EF的长,从而表示出S于m的函数关系,然后求二次函数的最值即可。
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【题目】如图,四边形是正方形,是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60度得到BN,连接
(1)求证:
(2)①当M点在何处时, 的值最小;
②当M点在何处时,的值最小,并说明理由
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,1), B(-3,1),C(-1,4).
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
②将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2 , 请在图中画出△A2BC2 , 并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留 )
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【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,∠B=∠CAD=30°.
(1)AD是⊙O的切线吗?为什么?
(2)若OD⊥AB,BC=5,求⊙O的半径.
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【题目】山西省平遥县政府为进一步挖掘“双林寺、老醯水镇、平遥古城”的旅游 价值,计划在2019年开工建设一条途经平遥高铁站、双林寺、老醯(读,醋的意思) 水镇、平遥古城的“旅游+交通”融合轨道观光线.甲、乙两个工程队计划参与工程建设,若让甲队单独施工天完成该项工程的,然后乙队加入,两队还需共同施工天,才能完成该项工程.
(1)若乙队单独施工,需要多少天才能完成该项工程?
(2)若先让甲队施工且甲队参与该项工程施工的时间不超过天,则乙队加入后至 少要施工多少天才能完成该项工程?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC上的中点,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为点D、E.
(1)求证:PD=PE;
(2)若AB=6cm,∠BAC=30°,请直接写出PD+PE= cm.
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【题目】将个棱长为(单位:)的正方体,摆成的大正方体(如图①),从上面、正面、左面看到的大正方体的正投影图都是如图②,是的正方形.
(1)如果将图①中,左前方的个正方体和右后方的个正方体取走,就变成图③.这时从正面、左面、上面看的正投影图依次是图④中的________;
(2)在图③中,至少要补防________个正方体后,组成的立体图形,从上面看的正投影图是图②.
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