Question

15．如图，四边形ABCD，∠BAD=90°，过点B作CD的垂线，点M为垂足，BM交AC于点N，点E在MB的延长线上，∠EAB=∠CAD．
（1）如图1，求证∠AEB=∠ACD；
（2）如图1，若AB=AD，求证AE=AC；
（3）在（2）的条件下，如图2，AF，AG分别为△ABC的中线，高，连接ED，若△ADE的面积为14，AG=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由∠EAB=∠CAD，得到∠EAN=∠EAB+∠BAN=∠CAD+∠BAN=∠BAD=90°，由于∠CMN=90°，于是得到结论．
（2）由（1）知∠AEB=∠ACD，推出△ABE≌△ADC，即可得到结论；
（3）如图2，延长BA到P使AP=AB，于是得到AD=AB=AP，推出△ADE≌△APC，于是得到S_△APC=S_△ADE=14，根据三角形的面积公式即可得到结果．

解答 解：（1）∵∠EAB=∠CAD，
∴∠EAN=∠EAB+∠BAN=∠CAD+∠BAN=∠BAD=90°，
∵∠CMN=90°，
∴∠AEB=90°-∠ANE=90°-∠MNC=∠ACD，
即∠AEB=∠ACD；

（2）由（1）知∠AEB=∠ACD，
在△ABE与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠ACD}\\{∠EAB=∠CAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC；

（3）如图2，延长BA到P使AP=AB，
∴AD=AB=AP，
∵∠DAE=90°+∠CAD=∠PAC，
在△ADE与△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AP}\\{∠DAE=∠PAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△APC，
∴S_△APC=S_△ADE=14，
∵S_△ABC=S_△APC=14，
∴$\frac{1}{2}$•BC•AG=14，
∴BC=7，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．