Question

14．已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的圆心为点A，外接圆的圆心为点B，则AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，在Rt△EFD中，EF=4，DF=3，∠F=90°，内切圆的圆心为点A，外接圆的圆心为点B．作AN⊥EF于N，AH⊥DE于H，AM⊥DF于M．
先求出内切圆的半径，再求出切线长EN、EH，在Rt△ABH中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，在Rt△EFD中，EF=4，DF=3，∠F=90°，内切圆的圆心为点A，外接圆的圆心为点B．

作AN⊥EF于N，AH⊥DE于H，AM⊥DF于M．
∵DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EB=DB=$\frac{5}{2}$，
∴AN=AM=AH=$\frac{EF+DF-ED}{2}$=1，
∴EN=EH=3，
∴BH=$\frac{1}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心．勾股定理等知识，解决本题的关键是学会添加常用辅助线，求得内切圆半径，利用勾股定理求出AB，属于中考常考题型．