Question

【题目】如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AB、AC的延长线于E、F．下列说法：①△DBC是等腰直角三角形；②EF与⊙O相切；③EF=2BC；④点B、I、C在以点D 为圆心的同一个圆上．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据内心的定义得到∠BAD=∠CAD，再根据圆周角定理得到BD=CD，即可判断①；

根据直角三角形的性质即可判断②，根据三角形的中位线性质判断③即可，连接BI、CI，根据三角形的内心及三角形的外角的性质求出DB=DI，即可判断④.

∵I是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴△DBC是等腰直角三角形，故①正确；

连接OD，

∵BC为⊙O的直径，BD=CD，

∴OD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴OD⊥EF，

∴EF与⊙O相切，故②正确；

∵点B、C不是AE和AF的中点，

∴BC不是△AEF的中位线，

∴，故③错误；

连接BI、CI，

∵I是△ABC的内心，

∴∠ABI=∠CBI，

∵∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∴∠CBD+∠CBI=∠BAD+∠ABI，

∴∠DBI=∠DIB，

∴DB=DI=DC，

∴点B、I、C在以点D 为圆心的同一个圆上，故④正确.