Question

【题目】阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．

某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：

小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；

小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；

小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．

……

老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=AE，连接DF并延长交BC于点G，求的值”．

（1）求证：∠ACB=∠ABE；

（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；

（3）若DF=CF=AE，求的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CB=2AB；（3）

【解析】

（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；

（2）在BE边上取点H，使BH=AE，可证明△ABH≌△DAE，△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性质从而得出结论；

（3）连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K，得出，通过证明△ADK∽△DBC得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ，设AD=a，因此有DF=FC=QF=ka，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka，，，从而得出答案．

解：（1）∵∠BAD=∠BEC

∠BAD=∠BAE+∠EAD

∠BEC=∠ABE+BAE

∴∠EAD=∠ABE

∵AD∥BC

∴∠EAD=∠ACB

∴∠ACB=∠ABE

（2）在BE边上取点H，使BH=AE

∵AB=AD

∴△ABH≌△DAE

∴∠AHB=∠AED

∵∠AHB+∠AHE=180°

∠AED+∠DEC=180°

∴∠AHE=∠DEC

∵∠BEC=2∠DEC

∠BEC=∠HAE+∠AHE

∴∠AHE=∠HAE

∴AE=EH

∴BE=2AE

∵∠ABE=∠ACB

∠BAE=∠CAB

∴△ABE∽△ACB

∴

∴CB=2AB；

（3）连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K

∵AD=AB

∴

∠AKD=90°

∵

∴

∵AD∥BC

∴∠ADK=∠DBC

∴△ADK∽△DBC

∴∠BDC=∠AKD=90°

∵DF=FC

∴∠FDC=∠DFC

∵∠BDC=90°

∴∠FDC+∠QDF=90°

∠DQF+∠DCF=90°

∴DF=FQ

设AD=a

∴DF=FC=QF=ka

∵AD∥BC

∴∠DAQ=∠QCB

∠ADQ=∠QBC

∴△AQD∽△CQB

∴

∴AQ=ka=QF=CF

∴AC=3ka

∵△ABE∽△ACB

∴

∴

同理△AFD∽△CFG

∴

．