Question

17．已知：如图所示，四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD，点E在矩形上方，点F在矩形内部，连接AE、EF．
（1）求∠ECF的度数；
（2）求证：AE=FE．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠BCD=90°，由等边三角形的性质得出∠ECD=30°，得出∠ECF=30°；
（2）由SAS证明△EBA≌△ECF，得出对应边相等即可．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，AB=CD，
∵三角形△EBC是等边三角形，
∴∠ECB=∠EBC=60°，EC=EB，
∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=90°-60°=30°，∠EBA=90°-60°=30°，
∵△FCD是等边三角形，
∴∠FCD=60°，CF=CD，
∴∠ECF=∠FCD-∠ECD=30°；
（2）证明：∵AB=CD，CF=CD，
∴AB=CF，
在△EBA和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}&{\;}\\{∠EBA=∠ECF=30°}&{\;}\\{EB=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△ECF（SAS），
∴AE=FE．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形和等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．