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【题目】如图,已知拋物线经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该拋物线的顶点为点D.

(1)求该拋物线的解析式及点D的坐标;

(2)连接AC,CD,DB,BC,设△AOC,△BOC,△BCD的面积分别为 S1,S2,S3,求证:.

(3)M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点MMN//BCAC于点N,连接MC,是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)点D的坐标为(1,-4);(2)见解析(3)直线MN的解析式为.

【解析】

试题

(1)由抛物线过点A(-1,0),B(3,0)可得其解析式为化简再配方为顶点式可得顶点D的坐标;

(2)连接AC,CD,DB,BC,(1)中所求解析式可得点C的坐标,这样就可由A、B、C、D、O五点的坐标分别求出三个三角形△AOC,△BOC,△BCD的面积,从而可证得:.

(3)由题意可设点M的坐标为(m,0),其中-1<m<3,则AM=m+1;由已知和(2)可求得:AC=,AB=4;由MN∥BC可得:AM:AB=AN:AC,从而可得解得:AN=;由∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,可得△AMN∽△ACM,因此:AM:AC=AN:AM,由此可列出关于m的方程,解方程求得m的值即可得到点M的坐标,然后利用已知可求得直线BC的解析式,再由MN∥BC,即可求得直线MN的解析式.

试题解析

(1)∵抛物线过点A(-1,0),B(3,0)

抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),y=x2-2x-3.

∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

D的坐标为(1,-4)

(2)如下图,

x=0时,y=x2-2x-3=-3,

C(0,-3),

∵A(-1,0),B(3,0),

,

,

.

.

BCD为直角三角形,.

.

,,

.

(3)存在点M使∠AMN=∠ACM.

设点M的坐标为(m,0)(-1<m<3),则MA=m+1,

,AB=1+3=4

∵MN//BC,

AM:AB=AN:AC,(m+1):AN=4:.

解得AN=.

∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,

∴△AMN∽△ACM.

AM:AC=AN:AM.(m+1)2=.

解得m1=-1(不合题意,舍去),.

∴点M的坐标为.

设直线BC的解析式为y=kx+b.

B(3,0),C(0,-3)代入,得解得

∴直线BC的解析式为y=x-3.

又∵MN//BC,

∴设直线MN的解析式为y=x+n.

把点M的坐标代入,得.

∴直线MN的解析式为.

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