Question

【题目】已知△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC=4，AD=DE，点F是BE的中点，连接DF，CF.

(1)如图1，当点D在AB上，且点E是AC的中点时，求CF的长.
(2)如图1，若点D落在AB上，点E落在AC上，证明：DF⊥CF.
(3)如图2，当AD⊥AC，且E点落在AC上时，判断DF与CF之间的关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) CF=；(2)见解析； (3)DF与CF相等且垂直.证明见解析.

【解析】

（1）在直角△BCE中，利用“勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答；
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（3）DF与CF相等且垂直．如图2，延长DE交BC于点G，连接FG，易证DG⊥BC．构建矩形ADGC，结合矩形的性质推知△DEF≌△CGF，由该全等三角形的性质推知：DF与CF相等且垂直．

(1)如图1，∵AC=BC=4，点E是AC的中点，

∴EC=2.
在直角△BCE中,BE2=BC2+CE2=20，
∴BE=.
∵CF是直角△BCE斜边上的中线，
∴CF==；
(2)证明：如图1,∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点

∴DF=BE,CF=BE，
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF.
(3)DF与CF相等且垂直.
如图2，延长DE交BC于点G，连接FG，易证DG⊥BC.

∵∠DEA=45°，
∴∠BEG=45°,∠DEF=135°.
又∵∠B=45°，
∴BG=EG.
∵点F是BE的中点，
∴FG=FE,FG⊥BE,∠EGF=45°，
∴∠FGC=∠EGF+EGC=135°，
∴∠DEF=∠CGF.
又∵∠ADE=90°,∠ACB=90°，DG⊥BC，
∴四边形ADGC是矩形，
∴AD=GC，
∴DE=GC，
∴△DEF≌△CGF（SAS）,
∴∠DFE=∠CFG，DF=CF.
∵∠DFE+∠CFE=90°，
∴CF⊥DF，
∴DF与CF相等且垂直.