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【题目】已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AEBEDE,过点AAE的垂线交DE于点P.若AEAP1PB,下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EBED;④SAPD+SAPB.其中正确结论的序号是_____

【答案】①③④

【解析】

BF⊥AEF,根据正方形的性质证明△APD≌△AEB即可判断,根据△AEP为等腰直角三角形,得到∠APD135°,再求出∠PEB=90°,即可判断③,根据Rt△PED中,求出BE,再求出△BEF为等腰直角三角形,利用BFBE即可求出BF即可判断,再根据SAPD+SAPBSAEB+SAPBS四边形AEBPSAEP+SPBE即可求出④的正确性.

解:作BF⊥AEF,如图,

四边形ABCD为正方形,

∴ABAD∠BAD90°

∵AP⊥AE

∴∠EAP90°,即∠2+∠390°

∵∠1+∠290°

∴∠1∠3

△APD△AEB

∴△APD≌△AEB,所以正确;

∵AEAP∠PAE90°

∴△AEP为等腰直角三角形,

∴∠4∠545°

∴∠APD135°

∵△APD≌△AEB

∴∠AEB∠APD135°

∴∠PEB135°∠490°

∴BE⊥ED,所以正确;

Rt△PED中,BE

Rt△BEF中,∵∠BEF180°∠AEB45°

∴△BEF为等腰直角三角形,

∴BFBE×,所以错误;

∵△APD≌△AEB

∴SAPDSAEB

∴SAPD+SAPBSAEB+SAPBS四边形AEBPSAEP+SPBE×1×1+××,所以正确.

故答案为①③④

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