Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，过点D作DE⊥AD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G．

（1）如图1，若AC＝4，cos∠CAD＝，求△ADE的面积；

（2）如图2，点H为DC是延长线上一点，连接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求证：DH＝CE+FH．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到∠CAD＝∠ACB，因为AB⊥AC，根据三角函数得到cos∠CAD，cos∠CAD＝，再根据勾股定理进行计算即可得到答案；

（2）作FK⊥DH于K，根据题意，由三角函数得到HK＝FH，根据全等三角形的判定（ASA）得到△BOG≌△DOF（ASA），根据全等三角形的性质得到BG＝DF，结合题意根据全等三角形的判定（AAS）和性质即可得到答案.

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠CAD＝∠ACB，

∵AB⊥AC，

∴cos∠CAD＝＝cos∠ACB＝＝，

∴BC＝AD＝5，

∵cos∠CAD＝，

∴＝，

∴AE＝，

DE＝＝＝，

S△ADE＝ADDE＝×5×＝；

（2）证明：作FK⊥DH于K，如图2所示：

∵∠H＝30°，

∴∠HFK＝60°，

∴HK＝sin60°FH＝FH，

连接BD，则OB＝OD，∠OBG＝∠ODF，∠BOG＝∠DOF，

在△BOG和△DOF中，，

∴△BOG≌△DOF（ASA），

∴BG＝DF，

∵DE＝BG，

∴DE＝DF，

∵AB⊥AC，AB∥CD，

∴CD⊥AC，

∴∠DCE＝∠FKD＝90°，

∵∠CDE+∠CED＝90°，∠CDE+∠KDF＝90°，

∴∠CED＝∠KDF，

在△DCE和△FKD中，，

∴△DCE≌△FKD（AAS），

∴DK＝CE，

∴DH＝DK+HK＝CE+FH．