【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,BD和CD为⊙O的切线,切点分别为B和C.
(1)求证:AC∥OD;
(2)当BC=BD,且BD=6cm时,求图中阴影部分的面积(结果不取近似值).
【答案】(1)见解析;(2)( 4π﹣3)cm2.
【解析】分析:(1)连接OC,证明∠OCD=90°.根据切线定理得DC=DB,OB⊥BD,OC⊥CD,证得△OCD≌△OBD,再结合AB为直径,AC⊥BC,可得∠ACO=∠COM,从而得证;
(2)阴影面积=S扇形OBC-S△OBC.根据切线长定理知△BCD为等边三角形,可求∠BOC的度数,运用相关公式计算.
详解:
(1)证明:连接OC.
∵BD和CD为⊙O的切线,
∴DC=DB,OB⊥BD,OC⊥CD,
又OB=OC,
∴△OCD≌△OBD,
∴∠COM=∠BOM,从而易得BC⊥OD,
∵AB为直径,
∴AC⊥BC,
∴∠ACO+∠OCM=∠COM+∠OCM=90°,
∴∠ACO=∠COM,
∴AC∥OD.
(2)∵DB,DC为切线,B,C为切点,
∴DB=DC.
又∵DB=BC=6,∴△BCD为等边三角形.
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,
∠OBM=90°﹣60°=30°,BM=3.
∴OM=,OB=2
.
∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC=
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【题目】如图,点P是的角平分线OC上一点,PN
OB于点N,点M是线段ON上一点,已知OM=3,ON=4,点D为OA上一点,若满足PD=PM,则OD的长度为________
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【题目】如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=34°,D,E 分别为 AB,AC 上一点,将△BCD,△ADE 沿 CD,DE 翻折,点 A,B 恰好重合于点 P 处,则∠ACP=_______________.
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【题目】抛物线经过点A(
,0),B(
,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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【题目】如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.
(1)求证:MN=AM+BN.
(2)若过点C在△ABC内作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AD=10,AB=8,点E为边DC上一动点,连接AE,把△ADE沿AE折叠,使点D落在点D′处,当△DD′C是直角三角形时,DE的长为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为(2a+6,a-3)
(1)当点P的纵坐标为-4,求a的值;
(2)若点P在y轴上,求点P的坐标;
(3)若点P在第四象限,求a的取值范围.
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【题目】请按要求完成下面三道小题(本题作图不要求尺规作图).
(1)如图1,AB=AC.这两条线段一定关于∠BAC的______所在直线对称,请画出该直线.
(2)如图2,已知线段AB和点C.求作线段CD,使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,对称轴是线段AC的______.
(3)如图3,任意位置(不成轴对称)的两条线段AB,CD,AB=CD.你能从(1),(2)问中获得的启示,对其中一条线段作两次轴对称使它们重合吗?如果能,请画出图形并简要描述操作步骤;如果不能,请说明理由.
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