Question

4．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，6），点B的坐标是（5，0），点C在AB上，以C为圆心的圆与x轴相切，与AD切于点N，求⊙C的面积．

Answer 1

分析 根据点点坐标分别求出直线OA的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x，直线AB的解析式为：y=2x-10，连接CN，CM，根据切线的性质得到CM⊥x轴，CN⊥OA，设C（a，2a-10），于是得到CN=CM=2a-10，根据点到直线的距离公式得到CN=$\frac{|4a-3（2a-10）|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|30-2a|}{5}$，得到方程2a-10=$\frac{|30-2a|}{5}$，求得a=$\frac{20}{3}$，于是得到距离．

解答 解：∵A的坐标是（8，6），
∴直线OA的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x，
∵点B的坐标是（5，0），
∴直线AB的解析式为：y=2x-10，
连接CN，CM，
∵以C为圆心的圆与x轴相切，与AD切于点N，
∴CM⊥x轴，CN⊥OA，
∵点C在AB上，
∴设C（a，2a-10），
∴CN=CM=2a-10，
∵CN=$\frac{|4a-3（2a-10）|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|30-2a|}{5}$，
∴2a-10=$\frac{|30-2a|}{5}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{20}{3}$，
∴CM=$\frac{10}{3}$，
∴⊙C的面积=（$\frac{10}{3}$）²π=$\frac{100π}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质，待定系数法求函数的解析式，点到直线的距离，圆的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．