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【题目】如图,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,D是BC上的点.求证:BD2+CD2=2AD2

【答案】证明过程见解析

【解析】

试题分析:作AEBC于E,由于BAC=90°,AB=AC,所以BE=CE,要证明BD2+CD2=2AD2,只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可,由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2,AE2=AB2BE2=AC2CE2,ED=BDBE=CECD,代入求出三者之间的关系即可得证.

试题解析:作AEBC于E,如上图所示: 由题意得:ED=BDBE=CECD,

ABC中,BAC=90°,AB=AC, BE=CE=BC, 由勾股定理可得:

AB2+AC2=BC2 AE2=AB2BE2=AC2CE2 AD2=AE2+ED2

2AD2=2AE2+2ED2=AB2BE2+(BDBE)2+AC2CE2+(CECD)2

=AB2+AC2+BD2+CD22BD×BE2CD×CE =AB2+AC2+BD2+CD22×BC×BC

=BD2+CD2 即:BD2+CD2=2AD2

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