Question

已知⊙O₁与⊙O₂的半径分别为5和4，两圆相交公共弦的长为6，现作⊙O₂的同心圆使之与⊙O₁相切，求同心圆的半径．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系

专题：

分析：根据⊙O₁的半径为5，⊙₂的半径为4，公共弦AB为6，两圆的圆心的连线与公共弦的交点为C；根据相交两圆的性质，可得O₁O₂垂直平分AB，利用勾股定理分别求出O₁C和O₂C，分圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况，根据求出O₁C和O₂C相加和相减求出相应的O₁O₂，再分内切与外切求解即可．

解答：解：如图，⊙O₁的半径为5，⊙₂的半径为4，公共弦AB=6．
根据两圆相交的性质，可得O₁O₂⊥AB，且C为AB的中点，即AC=

1

2

AB=3，
在Rt△O₁AC中，O₁C=

52-32

=4，
同理，在Rt△O₂AC中，O₂C=

42-32

=

7

．
圆心在公共弦的异侧时，O₁O₂=O₁C+O₂C=4+

7

，
如果作⊙O₂的同心圆使之与⊙O₁外切，那么同心圆的半径为4+

7

-5=

7

-1；
如果作⊙O₂的同心圆使之与⊙O₁内切，那么同心圆的半径为4+

7

+5=

7

+9；
圆心在公共弦的同侧时，O₁O₂=O₁C-O₂C=4-

7

，作⊙O₂的同心圆使之与⊙O₁相切，只能内切，不能外切，此时同心圆的半径为5-（4-

7

）=

7

+1．

点评：本题考查了圆与圆的位置关系，相交两圆的性质和勾股定理．利用分类讨论与数形结合是解题的关键．