Question

10．已知二次函数y=x²+bx+c（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数y=2x和y=$\frac{2}{x}$的其中一个交点．则当a²+ab+c＞2a＞$\frac{2}{a}$时，a的取值范围是-1＜a＜0或a＞3．

Answer 1

分析 只需先求出抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与直线y=2x的交点，然后结合函数图象就可解决问题．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$．
①当抛物线y=x²+bx+c顶点为（1，2）时，
抛物线的解析式为y=（x-1）²+2=x²-2x+3．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x+3}\\{y=2x}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=6}\end{array}\right.$．
结合图象可得：

当a²+ab+c＞2a＞$\frac{2}{a}$时，a的取值范围是-1＜a＜0或a＞3；
②当抛物线y=x²+bx+c顶点为（-1，-2）时，
抛物线的解析式为y=（x+1）²-2=x²+2x-1．
∴c=-1＜0，与条件c＞0矛盾，故舍去．
故答案为-1＜a＜0或a＞3．

点评 本题主要考查了直线与反比例函数图象的交点、抛物线的顶点坐标公式、直线与抛物线的交点等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．