Question

【题目】如图，AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上的一点，点 D 是弧 BC 的中点，连接 AC， BD，过点 D 作 AC 的垂线 EF，交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F.．

（1）依题意补全图形；

（2）判断直线 EF 与⊙ O 的位置关系，并说明理由

（3）若 AB=5，BD=3，求线段 BF 的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）直线EF是⊙O的切线，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）连接BC，OD交于点H，证明BC∥EF，根据OD⊥BC可得OD⊥EF，即可证得直线EF是⊙O的切线；

（3）设OH＝x，在Rt△OHB和Rt△BHD中，利用勾股定理构建方程求出OH，进而可得AC，AE的长，然后由BC∥EF，利用平行线分线段成比例定理列式求出BF即可．

解：（1）如图所示；

（2）直线EF是⊙O的切线；

理由：如图，连接BC，OD交于点H，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠E＝90°，

∴BC∥EF，

∵点D是弧BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴OD⊥EF，

∴直线EF是⊙O的切线；

（3）如图，∵AB＝5，BD＝3，

∴OB＝OD＝，

设OH＝x，则DH＝，

在Rt△OHB中，由勾股定理得：，

在Rt△BHD中，由勾股定理得：，

∴，解得：，

∴，，

∵O是AB中点，H是BC中点，

∴AC＝2OH＝，

易证四边形HCED是矩形，则，

∴AE＝，

∵BC∥EF，

∴，即，

∴．