Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB＝AD.

求证：(1) AB＝BC＝CD＝DA

(2) AC⊥DB

(3) ∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解答；（2）利用SSS证明△ADO≌△CDO，可得：∠AOD＝∠COD，又因为∠AOD＋∠COD＝180°，所以∠AOD＝∠COD＝90°即可得出AC⊥DB；（3）由△ADO≌△CDO，再根据全等三角形对应角相等，两直线平行，内错角相等即可解答.

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝CB.

又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝DA.

(2)在△ADO和△CDO中，

∵DA＝DC，DO＝DO，AO＝CO，∴△ADO≌△CDO. ∴∠AOD＝∠COD.

∵∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠COD＝90°. ∴AC⊥DB.

(3) ∵△ADO≌△CDO， ∴∠ADB＝∠CDB，∠DAC＝∠DCA.

∵AB∥CD，AD∥CB，

∴∠ADB＝∠CBD，∠CDB＝∠ABD，∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC.

∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA.