Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．

（1）求∠ECF的度数；

（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）∠ECF＝45°；（2）BC＝，和△ABC的面积为．

【解析】

（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；

（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝,设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x＝ ，即可得出S△ABC＝AB×CE＝．

解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCB'＝90°，

∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，

即∠ECF＝45°；

（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，

∴∠EFC＝45°＝∠ECF，

∴CE＝EF＝4，

∴BE＝4+1＝5，

∴再Rt△BCE中，BC＝

设AE＝x，则AB＝x+5，

∵在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，

在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，

∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，

即x2+42＝（x+5）2﹣41，

解得x＝

∴S△ABC＝AB×CE＝（+5）×4＝．