【题目】矩形
中，AB=8，BC=6，过对角线
中点
的直线分别交
，
边于点
，
.
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)当四边形是菱形时，求
的长.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC
∴ 
又
O是BD的中点
∴OB=OD
在△BOE与△DOF中
∴△BOE≌△DOF
∴EO=FO
又 BO=DO
∴四边形BEDF为平行四边形
（2）四边形BEDF为菱形
BE=DE DB⊥EF
又 AB=8 ， BC=6， 设BE=DE=x,则AE=8-x
在Rt△ADE中，
∴
∴
∴
∴
∴EF=2OE=.
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣
），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°．
（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；
（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
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【题目】如图，已知抛物线
与
轴交于
、
两点，
，交
轴于点
，对称轴是直线
．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)连接
，
是线段
上一点，关于直线的对称点
正好落在上，求点的坐标；
(3)动点
从点
出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点
，交线段于点
．设运动时间为
秒．
①若
与
相似，请直接写出
的值；
②
能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
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【题目】如图，地物线点
：
（
、
、
均不为0）的顶点为
，与
轴的交点为
，我们称以为顶点，对称轴是轴且过点的抛物线为抛物线的衍生抛物线，直线
为抛物线的衍生直线.
（1）求抛物线
的衍生抛物线和衍生直线的解析式；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是
和
，求这条抛物线的解析式.
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【题目】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝2
．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，DE＝
，求图中阴影部分的面积．
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【题目】已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m-1=0.
（1）求证方程有两个不相等的实数根.
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
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