Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°．

（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；

（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或或或

【解析】

（1）解直角三角形求出OF，CF，根据CO′≥CF﹣O′F求解即可．

（2）分四种情形：①如图2中，当B′D′＝B′M＝BD=时，可得菱形MND′B′．②如图3中，当B′M是菱形的对角线时．③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时．④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，分别求解即可解决问题．

（1）如图1中，

∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴∠CBE=60°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，∠BCE=30°，
∵C（0，-），
∴OC=，OF=OCtan30°=，CF=2OF=3，
由翻折可知：FO′=FO=，
∴CO′≥CF-O′F，
∴CO′≥，
∴线段O′C的最小值为．
（2）①如图2中，当B′D′=B′M=BD=时，可得菱形MND′B′．

在Rt△AMB′中，AM=2B′M=2，
∴OM=AM-OA=2-3，
∴M（3-2，0）．
②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M=2OB=6，此时AM=12，OM=123，可得M（3-12，0）．

③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，由∠D′B′M=∠DBO

可得，所以B′M=

则在RT△AM B′中，AM=2B′M=，所以OM=OA-AM=3-，所以M（3-，0）．

④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，MB′=B′D′=，可得AM=2，OM=OA+AM=3+2，所以M（3+2，0）．

综上所述，满足条件的点M的坐标为（3+2，0）或（3-12，0）或（3-，0）或（3+2，0）．