Question

3．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²-2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．

（1）求a的值；
（2）若点D在二次函数y=ax²-2x+2的图象的对称轴上，点E在二次函数y=ax²-2x+2的图象上，是否存在以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．在旋转过程中，若点A₁落在二次函数y=ax²-2x+2的图象对称轴上，求出此时的点B₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出点C的坐标，再根据正方形的边长相等，得出点B的坐标，代入y=ax²-2x+2，即可得出a的值．
（2）分两种情况求解：①当点E在抛物线顶点时；②当BC∥DE，且DE=BC=2时，即可求出答案；
（3）由点A₁落在二次函数对称轴上，OA₁=2，可得出∠A₁OA=60°，进而得出∠BOB₁=60°，求出∠B₁OC=15°，利用三角函数表示点B₁的坐标即可．

解答 解：（1）二次函数y=ax²-2x+2的图象与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∵以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．
∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax²-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1．

（2）①当点E在抛物线顶点时，
∵二次函数的解析式为y=-x²-2x+2．
∴E（-1，3）
∵点D在二次函数的对称轴上，
∴当E（-1，3）以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形
②当BC∥DE，且DE=BC=2时，
∵点D在二次函数的对称轴上，
∴D的横坐标为-1，
∴设点E的横坐标为t，则有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．
∴E（-3，-1）或（1，-1）
综上所述：当点E的坐标为（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形．

（3）如图1，

∵点A₁落在二次函数对称轴上，OA₁=2
∴∠A₁OA=60°，
∴∠BOB₁=60°，
∴∠B₁OC=60°-45°=15°，
∵OB₁=OB=2$\sqrt{2}$，
∴B₁（2$\sqrt{2}$sin15°，2$\sqrt{2}$cos15°）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，求二次函数图象与坐标轴的交点，正方形的性质，配方法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，难点在于第（2）小题的两个小题都要分情况讨论，并且运算量较大．