Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第三象限的交点为C（-2$\sqrt{3}$，m），且△AOC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求a的值；
（2）求m、k的值；
（3）以BC为一边作等边△BCD，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线y=ax+1（a≠0）求得A的坐标，然后根据三角形面积求得m=-$\sqrt{3}$a，得出C（-2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$a），代入直线解析式求得a；
（2）由（1）知m=-$\sqrt{3}$a，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得m=-1，得出C（-2$\sqrt{3}$，-1），根据待定系数法即可求得k．
（3）根据B、C两点的坐标．再根据轴对称和等边三角形的性质、点的坐标的求法即可解决问题．

解答 解：（1）由直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，
∴A（-$\frac{1}{a}$，0），
∴OA=$\frac{1}{a}$
∵C（-2$\sqrt{3}$，m），且△AOC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$OA•（-m）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{m}{a}$=$\sqrt{3}$，解得m=-$\sqrt{3}$a，
∴C（-2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$a），
代入y=ax+1得，-$\sqrt{3}$a=-2$\sqrt{3}$a+1，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
（2）∵m=-$\sqrt{3}$a，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m=-1，
∴C（-2$\sqrt{3}$，-1），
代入y=$\frac{k}{x}$得，-1=$\frac{k}{-2\sqrt{3}}$，解得k=2$\sqrt{3}$；
（3）如图，由（1）知OB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OBA=60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴D₁是B关于直线y=-1的对称点，D₂是C点关于直线y=1的对称点，
∴D₁（0，-3），D₂（-2$\sqrt{3}$，3），
∴D点的坐标为（0，-3）或（-2$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等边三角形的性质以及轴对称等知识．分类讨论思想的运用是解题的关键．