【题目】已知:抛物线y=(m-1)x2+mx+m2-4的图象经过原点,且开口向上.
(1)确定的值;
(2)求此抛物线的顶点坐标;
(3)画出抛物线的图象,结合图象回答:当取什么值时,随的增大而增大?
(4)结合图象直接回答:当取什么值时,?
【答案】(1)m=2;(2)顶点坐标是(-1,-1);(3)x-1时,y随x的增大而增大;(4)当-2<x<0时,y<0
【解析】
(1)图象经过原点,即x=0时,y=0,列方程求解,同时要注意开口向上,即m-1>0;
(2)把得出抛物线的一般式用配方法转化为顶点式,可求顶点坐标;
(3)画抛物线时,要明确表示抛物线与x轴,y轴的交点,顶点坐标及开口方向等;
(4)观察图象,可直接得出y<0时,x的取值范围.
(1)由题意得
,
解得m=2;
(2)∵抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,
∴顶点坐标是(-1,-1);
(3)抛物线如图如图所示;由图可知,x>-1时,y随x的增大而增大;
(4)由图可知,当-2<x<0时,y<0.
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【题目】如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG。
(1)求证:矩形DEFG是正方形。
(2)当点E从A点运动到C点时;
①求证:∠DCG的大小始终不变;
②若正方形ABCD的边长为2,则点G运动的路径长为 。
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.
(1)求证:BC是半圆O的切线;
(2)若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的长.
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【题目】如图,一次函数y=ax+图象与x轴,y轴分别相交于A、B两点,与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点E、F,过F作y轴的垂线,垂足为点C,已知点A(﹣3,0),点F(3,t).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求点E的坐标并求△EOF的面积;
(3)结合该图象写出满足不等式﹣ax≤的解集.
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【题目】如图,在Rt△ABC的纸片中,∠C=90°,AC=5,AB=13.点D在边BC上,以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形,则BD的长是___.
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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是射线CB上一点(点D不与点B重合),以AD为斜边作等腰直角三角形ADE(点E和点C在AB的同侧),连接CE.
(1)如图①,当点D与点C重合时,直接写出CE与AB的位置关系;
(2)如图②,当点D与点C不重合时,(1)的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)当∠EAC=15°时,请直接写出的值.
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【题目】爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后,他发现二次三项式也可以配方,从而解决一些问题.
例如:;因此 有最小值是1,只有当 时,才能得到这个式子的最小值1.
同样,因此有最大值是8,只有当 时,才能得到这个式子的最大值8.
(1)当x= 时,代数式﹣2(x﹣3)2+5有最大值为 .
(2)当x= 时,代数式2x2+4x+3有最小值为 .
(3)矩形自行车场地ABCD一边靠墙(墙长10m),在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板),现有能围成14m长的木板,当AD长为多少时,自行车场地的面积最大?最大面积是多少?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,点P是半径OB上一动点(不与O,B重合),过点P作射线l⊥AB,分别交弦BC,于D、E两点,在射线l上取点F,使FC=FD.
(1)求证:FC是⊙O的切线;
(2)当点E是的中点时,
① 若∠BAC=60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
② 若,且AB=20,求OP的长.
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