Question

【题目】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（1，a）、B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）S△PAB=.

【解析】

(1)先确定A点坐标，然后代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)先求出B点坐标，然后找到点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，则P点即为满足条件的点，利用待定系数法求出直线AD的解析式，令y=0，继而可求得点P坐标；

(3)由三角形面积公式根据S△PAB=S△ABD-S△BDP列式计算即可.

(1)当x=1时，y＝﹣x+4=3，即a= 3，

∴点A的坐标为(1，3)，

将点A(1，3)代入y=中，

3=，解得：k=3，

∴反比例函数的表达式为y=；

(2)y＝﹣x+4，当y= 1时，1=-x+4，x=3，即b=3，

∴点B的坐标为(3，1)，

作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示，

∵点B的坐标为(3，1)，

∴点D的坐标为(3，-1)，

设直线AD的函数表达式为y=mx+n，

将点A(1，3)、D(3，-1)代入y=mx+n中，

，解得：，

∴直线AD的函数表达式为y=-2x+5，

当y=-2x+5=0时，，

∴点P的坐标为(，0)；

(3)S△PAB=S△ABD-S△BDP=×2×2-×2×=．