Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，16），点C从B点出发向y轴负方向以每秒2个单位的速度运动，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作CDEF．设运动时间为t秒．

（1）求点C运动了多少秒时，点E恰好是AB的中点？

（2）当t=4时，若CDEF的顶点F恰好落在y轴上，请求出此时点D的坐标；

（3）点C在运动过程中，若在x轴上存在两个不同的点D使CDEF成为矩形，求出满足条件的t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点C运动了6.25秒时，点E恰好是AB的中点；（2）D（，0）；（3）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（2求出直线CE解析式，利用方程组确定点E坐标即可解决问题；
（3）求出两个特殊位置的时间t即可解决问题．①当点C在y轴的正半轴上时，设以EC为直径的⊙P与x轴相切于点D，作ER⊥OA于R．求出此时的时间t；
②当点C′在y轴的负半轴上时，设以E′C′为直径的⊙P′与x轴相切于点D′，作E′K⊥OA于K．求出此时的时间t；

（1）根据题意知BC=2t、BO=16、OA=12，则OC=16﹣2t，

∵CE⊥AB且E为AB中点，∴CB=CA=2t，

在Rt△AOC中，由OC2+OA2=AC2可得（16﹣2t）2+122=（2t）2，解得：t=6.25，

即点C运动了6.25秒时，点E恰好是AB的中点；

（2）如图1中， 当t=4时，BC=OC=8，∵A（12，0），B（0，16），

∴直线AB的解析式为y=﹣x+16，∵CE⊥AB，C（0，8），∴直线CE的解析式为y=x+8，，解得，∴E（ ，），∵点F在y轴上，∴DE∥y轴，∴D（，0）．

（3）如图2中，

①当点C在y轴的正半轴上时，设以EC为直径的⊙P与x轴相切于点D，作ER⊥OA于R．

根据PD=（OC+ER），可得： t= [16﹣2t+（20﹣t）×]，解得t=．

②当点C′在y轴的负半轴上时，设以E′C′为直径的⊙P′与x轴相切于点D′，作E′K⊥OA于K．

根据P′D′=（OC′+E′K），可得： t= [2t﹣16+（t﹣20）×]，解得t=，

综上所述，点C在运动过程中，若在x轴上存在两个不同的点D使CDEF成为矩形，满足条件的t的取值范围为＜t＜．