【题目】在平面直角坐标系中,对于点与图形,若点为图形上任意一点, 点关于第一、三象限角平分线的对称点为 ,且线段的中点为,则称点是图形关于点的“关联点”
(1)如图1,若点是点关于原点的关联点,则点的坐标为
(2)如图2,在中,
①将线段向右平移个单位长度,若平移后的线段上存在两个关于点的关联点,则的取值范围是
②已知点和点,若线段上存在关于点的关联点,求的取值范围.
【答案】(1);(2)①;②或.
【解析】
(1)设点P坐标为(a,b),根据“关联点”的定义、中点的坐标公式和关于第一、三象限角平分线对称的两点的坐标规律即可;
(2)①先求出原AC与x轴的交点,然后根据△ABC是轴对称图形,且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得:“关联点”定义中的为OA关于(2,0)的对称线段与△ABC边的交点,平移线段可发现:当在C的左侧,过点(1,0)或(1,0)的右侧时符合题意,再列出不等式即可;
②由S、T的坐标可知,线段ST是x轴的一部分,线段ST关于点N的对称线段也是x轴的一部分,从而判断出定义中是△ABC边与x轴的交点,由图可知:点只有(-2,0)与(1,0)两种可能,再根据线段需要过点(-2,0)或(1,0)分类讨论并列出不等式即可.
解:(1)设点P坐标为(a,b)
∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为,
∴,
∵点是点关于原点的关联点,
∴的中点为原点,
∴,解得
∴点P坐标为:
故答案为:
(2)①设原AC的解析式为y=kx+b,
将代入得:
,解得:
∴原直线AC的解析式为:y=2x-2,
当y=0时,解得:x=1,
∴原AC与x轴的交点为(1,0)
△ABC是轴对称图形,且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得:定义中的Q在△ABC边上,
∴也在△ABC的边上,
∵将线段AO向右平移d(d>0)个单位长度,若平移后的线段上存在两个△ABC关于点(2,0)的关联点,
∴点和线段OA上的点必关于点(2,0)对称,此时O点坐标为(d,0),A点坐标为(2+d,2),
故作出OA关于(2,0)的对称线段,其中,,也必在上,即点为与△ABC边的交点,
∵平移后的线段上存在两个关于点的关联点,
∴与△ABC边必须有两个交点才满足题意,
如图中蓝线所示,平移可发现,当与C重合时,与△ABC边有一个交点,继续向左平移即可有两个交点,当过点(1,0)也有两个交点,继续向左平移就只有一个交点,
故当在C的左侧,过点(1,0)或(1,0)的右侧时符合题意,
,解得:.
故答案为:
②∵点和点
∴线段ST是x轴的一部分
∴线段ST上存在△ABC关于点N(n,0)的关联点,
故S、T关于点N(n,0)的对称点坐标为(n-2,0),坐标为(n-4,0)定义中在线段上,
∴即为△ABC边与x轴的交点,
由图可知,点只有(-2,0)与(1,0)两种可能,
∴线段需要过点(-2,0)或(1,0),
当线段需要过点(-2,0)时,
,解得
当线段需要过点(1,0)时,
,解得,
综上所述:或.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b′),给出如下定义:
若b′=,则称点Q为点P的限变点.例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(-2,5)的限变点的坐标是(-2,-5).
(1)①点(,1)的限变点的坐标是 ;
②在点A(-2,-1),B(-1,2)中有一个点是函数y=图象上某一个点的限变点,这个点是 ;(填“A”或“B”)
(2)若点P在函数y=-x+3(-2≤x≤k,k>-2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2,求k的取值范围 ;
(3)若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′<n,其中m>n.令s=m-n,求s关于t的函数解析式及s的取值范围 .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点,连接AE,作EF⊥AE交AB于F.
(1)求证:△AGC∽△EFB.
(2)除(1)中相似三角形,图中还有其它相似三角形吗?如果有,请把它们都写出来.
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【题目】有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形(其中a>2b),按如图方式摆放,并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点,得到四边形ABCD.
下面有四种说法:
①阴影部分周长为4a;
②阴影部分面积为(a+2b)(a-2b);
③四边形ABCD周长为8a-4b;
④四边形ABCD的面积为a24ab4b2.
所有合理说法的序号是____.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,AD为中线,点P是AD上一点,点Q是AC上一点,且∠BPQ+∠BAQ=180°.
(1)若∠ABP=α,求∠PQC的度数(用含α的式子表示);
(2)求证:BP=PQ.
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【题目】国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”,并对钓鱼岛进行常态化立体巡航.如图,在一次巡航过程中,巡航飞机飞行高度为2362米,在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°,保持方向不变前进1464米到达B点后测得F点俯角为45°,请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.(结果保留整数,参考数=1.732,=1.414)
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论;
①b2-4ac<0②x<0时,y随x的增大而增大③a-b+c<0④abc>0⑤2a+b>0
其中,正确结论是______
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【题目】如图,在矩形ABCD内有一点F,FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD,点E为矩形ABCD外一点,连接BE,CE.现添加下列条件:①EB∥CF,CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF,CE⊥BE;④BE=CE,CE∥BF,其中能判定四边形BECF是正方形的共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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