Question

【题目】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为　

Answer 1

【答案】（1），D（1，4）；（2） PD+PH 最小值

【解析】

（1）根据题意把已知两点的坐标代入，求出b、c的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标；

（2）由题意根据B、D两点的坐标确定中点H的坐标，作出H点关于y轴的对称点点H′，连接H′D与y轴交点即为P，求出H′D即可.

解：（1）∵抛物线过点A（-1，0），B（3，0）,

∴,解得,

∴所求函数的解析式为：,

化为顶点式为：=-（x-1）2+4，

∴顶点D（1，4）;

（2）∵B（3，0），D（1，4）,

∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（-2，2）,

连接H′D与y轴交于点P，

则PD+PH最小且最小值为：.