Question

【题目】（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=________.

（2）（问题解决）如图2，在四边形中，,,求的度数.

（3）（问题拓展）如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_______.

Answer 1

【答案】（1）45；（2）25°；（3）

【解析】

（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．

（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，

（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，

∴∠BDC＝∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴点A、B、C、D共圆，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，

∴∠BAC＝25°；

（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1＋∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°90°＝90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

则OH＝AO＝AB＝1，

在Rt△AOD中，OD＝，

根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值＝ODOH＝1．